Чи може заступник селищного голови з гуманітарних питань перейти на посаду начальника відділу освіти селищної ради (відділ не є юридичною особою) без конкурсу?

Ні, не може. Посада заступника – виборна, а начальника – призначувана. Тільки конкурс.