Добрий день. скажіть будь ласка чи можна спочатку депутата назначити старостою а потім він складе відразу депутатський мандат?

Так, можна.

Одразу після прийняття радою рішення про затвердження особи на посаду старости вона має скласти повноваження депутата місцевої ради.